Chap.10 Ex.++

Exercices Supplémentaires | Additional Exercises

Application de la 2ème Loi de Newton

Rotation - Poulie et mouvement de rotation

Exercice 1 - FR : Disque soumis à une force tangentielle et un couple de frottement

Un disque homogène de masse M = 2 kg et de rayon R = 20 cm peut tourner autour d'un axe horizontal passant par son centre O.

On applique à la périphérie du disque une force constante F = 10 N tangentielle au disque. Un couple de frottement de moment M_f = 0,5 N·m s'oppose au mouvement.

Données :
M = 2 kg ; R = 20 cm = 0,20 m
F = 10 N ; M_f = 0,5 N·m
Moment d'inertie du disque : J = ½MR²

1. Calculer le moment d'inertie J du disque.
2. Calculer le moment de la force F par rapport à l'axe de rotation.
3. En appliquant la 2ème loi de Newton pour la rotation, déterminer l'accélération angulaire α du disque.
4. Calculer la vitesse angulaire ω du disque après t = 5 s sachant qu'il part du repos.
5. Calculer l'angle θ parcouru pendant ces 5 secondes.

Corrigé

1. Moment d'inertie du disque :

J = ½ × M × R² = ½ × 2 × (0,20)²

J = ½ × 2 × 0,04 = 0,04 kg·m²

Réponse : J = 0,04 kg·m²

2. Moment de la force F :

M_F = F × R = 10 × 0,20 = 2 N·m

Réponse : M_F = 2 N·m

3. Accélération angulaire :

La 2ème loi de Newton pour la rotation s'écrit :

ΣM = J × α

M_F − M_f = J × α

2 − 0,5 = 0,04 × α

1,5 = 0,04 × α

α = 1,5 / 0,04 = 37,5 rad/s²

Réponse : α = 37,5 rad/s²

4. Vitesse angulaire après 5 s :

Le disque part du repos (ω₀ = 0) :

ω = ω₀ + α × t = 0 + 37,5 × 5

ω = 187,5 rad/s

Réponse : ω = 187,5 rad/s

5. Angle parcouru :

θ = ½ × α × t² = ½ × 37,5 × (5)²

θ = ½ × 37,5 × 25 = 468,75 rad

Réponse : θ = 468,75 rad

Exercice 2 - FR : Poulie au sommet d'un plan incliné

Une poulie homogène de masse m_p = 500 g et de rayon r = 10 cm est placée au sommet d'un plan incliné d'angle α = 30°.

Un solide de masse m = 2 kg est relié à la poulie par un fil inextensible et de masse négligeable. Le solide glisse sans frottement sur le plan incliné.

Données :
m_p = 500 g = 0,5 kg ; r = 10 cm = 0,10 m
m = 2 kg ; α = 30°
g = 9,8 m/s²
Moment d'inertie de la poulie : J = ½m_pr²

1. Calculer le moment d'inertie J de la poulie.
2. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le solide. Écrire la 2ème loi de Newton pour le solide.
3. Faire le bilan des moments qui s'exercent sur la poulie. Écrire la 2ème loi de Newton pour la poulie.
4. En déduire l'accélération a du solide et la tension T du fil.

Corrigé

1. Moment d'inertie de la poulie :

J = ½ × m_p × r² = ½ × 0,5 × (0,10)²

J = ½ × 0,5 × 0,01 = 0,0025 kg·m²

Réponse : J = 2,5×10⁻³ kg·m²

2. Bilan des forces sur le solide :

• Poids : P = m × g (vertical vers le bas)
• Réaction du plan : R (perpendiculaire au plan)
• Tension du fil : T (parallèle au plan vers le haut)

La composante du poids parallèle au plan est : P_x = m × g × sin α

2ème loi de Newton pour le solide :

m × a = m × g × sin α − T

3. Bilan des moments sur la poulie :

Le moment de la tension T par rapport à l'axe de la poulie est :

M_T = T × r

2ème loi de Newton pour la poulie :

J × α = T × r

Avec α = a / r (fil inextensible) :

J × (a / r) = T × r

T = J × a / r²

4. Accélération et tension :

En remplaçant T dans l'équation du solide :

m × a = m × g × sin α − (J × a / r²)

a × (m + J/r²) = m × g × sin α

a = (m × g × sin α) / (m + J/r²)

Calcul de J/r² :

J/r² = 0,0025 / (0,10)² = 0,0025 / 0,01 = 0,25 kg

a = (2 × 9,8 × sin 30°) / (2 + 0,25)

a = (19,6 × 0,5) / 2,25 = 9,8 / 2,25

a ≈ 4,36 m/s²

Réponse : a ≈ 4,36 m/s²

Tension du fil :

T = J × a / r² = 0,25 × 4,36 = 1,09 N

Réponse : T ≈ 1,09 N

Exercice 3 - FR : Poulie soumise à une charge tenue par une corde enroulée

Une poulie homogène de masse M = 1,2 kg et de rayon R = 15 cm peut tourner autour de son axe.

Une corde de masse négligeable est enroulée sur la gorge de la poulie. À l'extrémité libre de la corde est suspendue une charge de masse m = 500 g.

La poulie est soumise à un couple de frottement constant M_f = 0,1 N·m.

Données :
M = 1,2 kg ; R = 15 cm = 0,15 m
m = 500 g = 0,5 kg ; M_f = 0,1 N·m
g = 9,8 m/s²
Moment d'inertie de la poulie : J = ½MR²

1. Calculer le moment d'inertie J de la poulie.
2. Faire le bilan des forces sur la charge suspendue. Écrire la 2ème loi de Newton pour la charge.
3. Faire le bilan des moments sur la poulie. Écrire la 2ème loi de Newton pour la poulie.
4. En déduire l'accélération a de la charge et la tension T du fil.
5. Calculer la vitesse de la charge après qu'elle ait descendu une hauteur h = 2 m (à partir du repos).

Corrigé

1. Moment d'inertie de la poulie :

J = ½ × M × R² = ½ × 1,2 × (0,15)²

J = ½ × 1,2 × 0,0225 = 0,0135 kg·m²

Réponse : J = 0,0135 kg·m²

2. Bilan des forces sur la charge :

• Poids : P = m × g (vers le bas)
• Tension du fil : T (vers le haut)

2ème loi de Newton pour la charge :

m × a = m × g − T

3. Bilan des moments sur la poulie :

Le moment de la tension T par rapport à l'axe de la poulie est :

M_T = T × R

Le couple de frottement s'oppose au mouvement :

T × R − M_f = J × α

Avec α = a / R :

T × R − M_f = J × (a / R)

T = (J × a / R²) + (M_f / R)

4. Accélération et tension :

En remplaçant T dans l'équation de la charge :

m × a = m × g − [(J × a / R²) + (M_f / R)]

a × (m + J/R²) = m × g − M_f/R

a = (m × g − M_f/R) / (m + J/R²)

Calcul de J/R² :

J/R² = 0,0135 / (0,15)² = 0,0135 / 0,0225 = 0,6 kg

Calcul de M_f/R :

M_f/R = 0,1 / 0,15 ≈ 0,667 N

a = (0,5 × 9,8 − 0,667) / (0,5 + 0,6)

a = (4,9 − 0,667) / 1,1 = 4,233 / 1,1

a ≈ 3,85 m/s²

Réponse : a ≈ 3,85 m/s²

Tension du fil :

T = m × (g − a) = 0,5 × (9,8 − 3,85)

T = 0,5 × 5,95 = 2,975 N

Réponse : T ≈ 2,98 N

5. Vitesse après une descente de 2 m :

En utilisant la relation v² = v₀² + 2×a×h avec v₀ = 0 :

v² = 2 × a × h = 2 × 3,85 × 2 = 15,4

v = √15,4 ≈ 3,92 m/s

Réponse : v ≈ 3,92 m/s

Exercice 4 - FR : Poulie soutenant deux charges de masses différentes

Une poulie homogène de masse M = 0,8 kg et de rayon R = 12 cm peut tourner autour de son axe.

Un fil inextensible et de masse négligeable passe sur la gorge de la poulie. À ses extrémités sont suspendues deux charges de masses m₁ = 300 g et m₂ = 500 g.

Données :
M = 0,8 kg ; R = 12 cm = 0,12 m
m₁ = 300 g = 0,3 kg ; m₂ = 500 g = 0,5 kg
g = 9,8 m/s²
Moment d'inertie de la poulie : J = ½MR²

1. Calculer le moment d'inertie J de la poulie.
2. Faire le bilan des forces sur chaque charge. Écrire les 2èmes lois de Newton pour chaque charge.
3. Faire le bilan des moments sur la poulie. Écrire la 2ème loi de Newton pour la poulie.
4. En déduire l'accélération a du système et les tensions T₁ et T₂ des fils.
5. Calculer la vitesse des charges après t = 2 s (à partir du repos).

Corrigé

1. Moment d'inertie de la poulie :

J = ½ × M × R² = ½ × 0,8 × (0,12)²

J = ½ × 0,8 × 0,0144 = 0,00576 kg·m²

Réponse : J = 5,76×10⁻³ kg·m²

2. Bilan des forces sur les charges :

Charge 1 (m₁ = 0,3 kg) :

• Poids : P₁ = m₁ × g (vers le bas)
• Tension : T₁ (vers le haut)

m₁ × a = T₁ − m₁ × g

Charge 2 (m₂ = 0,5 kg) :

• Poids : P₂ = m₂ × g (vers le bas)
• Tension : T₂ (vers le haut)

m₂ × a = m₂ × g − T₂

3. Bilan des moments sur la poulie :

Les tensions T₁ et T₂ créent des moments de sens opposés :

(T₂ − T₁) × R = J × α

Avec α = a / R :

(T₂ − T₁) × R = J × (a / R)

T₂ − T₁ = J × a / R²

4. Accélération et tensions :

Des équations des charges :

T₁ = m₁ × a + m₁ × g

T₂ = m₂ × g − m₂ × a

En remplaçant dans l'équation de la poulie :

(m₂ × g − m₂ × a) − (m₁ × a + m₁ × g) = J × a / R²

(m₂ − m₁) × g − (m₁ + m₂) × a = J × a / R²

a × (m₁ + m₂ + J/R²) = (m₂ − m₁) × g

a = (m₂ − m₁) × g / (m₁ + m₂ + J/R²)

Calcul de J/R² :

J/R² = 0,00576 / (0,12)² = 0,00576 / 0,0144 = 0,4 kg

a = (0,5 − 0,3) × 9,8 / (0,3 + 0,5 + 0,4)

a = 0,2 × 9,8 / 1,2 = 1,96 / 1,2

a ≈ 1,63 m/s²

Réponse : a ≈ 1,63 m/s²

Tensions :

T₁ = m₁ × (a + g) = 0,3 × (1,63 + 9,8)

T₁ = 0,3 × 11,43 = 3,43 N

Réponse : T₁ ≈ 3,43 N

T₂ = m₂ × (g − a) = 0,5 × (9,8 − 1,63)

T₂ = 0,5 × 8,17 = 4,09 N

Réponse : T₂ ≈ 4,09 N

5. Vitesse après 2 s :

v = v₀ + a × t = 0 + 1,63 × 2

v = 3,26 m/s

Réponse : v ≈ 3,26 m/s

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The same previous exercises in english

Application of Newton's 2nd Law

Rotation - Pulley and Rotational Motion

Exercise 1 - EN : Disk subjected to tangential force and friction torque

A homogeneous disk of mass M = 2 kg and radius R = 20 cm can rotate about a horizontal axis through its center O.

A constant force F = 10 N tangential to the disk is applied at its periphery. A friction torque of moment M_f = 0.5 N·m opposes the motion.

Given:
M = 2 kg ; R = 20 cm = 0.20 m
F = 10 N ; M_f = 0.5 N·m
Moment of inertia of the disk: J = ½MR²

1. Calculate the moment of inertia J of the disk.
2. Calculate the moment of the force F about the axis of rotation.
3. By applying Newton's 2nd law for rotation, determine the angular acceleration α of the disk.
4. Calculate the angular velocity ω of the disk after t = 5 s knowing it starts from rest.
5. Calculate the angle θ traveled during these 5 seconds.

Solution

1. Moment of inertia of the disk:

J = ½ × M × R² = ½ × 2 × (0.20)²

J = ½ × 2 × 0.04 = 0.04 kg·m²

Answer: J = 0.04 kg·m²

2. Moment of force F:

M_F = F × R = 10 × 0.20 = 2 N·m

Answer: M_F = 2 N·m

3. Angular acceleration:

Newton's 2nd law for rotation is written as:

ΣM = J × α

M_F − M_f = J × α

2 − 0.5 = 0.04 × α

1.5 = 0.04 × α

α = 1.5 / 0.04 = 37.5 rad/s²

Answer: α = 37.5 rad/s²

4. Angular velocity after 5 s:

The disk starts from rest (ω₀ = 0):

ω = ω₀ + α × t = 0 + 37.5 × 5

ω = 187.5 rad/s

Answer: ω = 187.5 rad/s

5. Angle traveled:

θ = ½ × α × t² = ½ × 37.5 × (5)²

θ = ½ × 37.5 × 25 = 468.75 rad

Answer: θ = 468.75 rad

Exercise 2 - EN : Pulley at the top of an inclined plane

A homogeneous pulley of mass m_p = 500 g and radius r = 10 cm is placed at the top of an inclined plane of angle α = 30°.

A solid of mass m = 2 kg is connected to the pulley by an inextensible and massless string. The solid slides without friction on the inclined plane.

Given:
m_p = 500 g = 0.5 kg ; r = 10 cm = 0.10 m
m = 2 kg ; α = 30°
g = 9.8 m/s²
Moment of inertia of the pulley: J = ½m_pr²

1. Calculate the moment of inertia J of the pulley.
2. Make a force balance on the solid. Write Newton's 2nd law for the solid.
3. Make a torque balance on the pulley. Write Newton's 2nd law for the pulley.
4. Deduce the acceleration a of the solid and the tension T in the string.

Solution

1. Moment of inertia of the pulley:

J = ½ × m_p × r² = ½ × 0.5 × (0.10)²

J = ½ × 0.5 × 0.01 = 0.0025 kg·m²

Answer: J = 2.5×10⁻³ kg·m²

2. Force balance on the solid:

• Weight: P = m × g (vertically downward)
• Normal reaction: R (perpendicular to the plane)
• Tension: T (parallel to the plane upward)

The component of weight parallel to the plane is: P_x = m × g × sin α

Newton's 2nd law for the solid:

m × a = m × g × sin α − T

3. Torque balance on the pulley:

The moment of tension T about the pulley's axis is:

M_T = T × r

Newton's 2nd law for the pulley:

J × α = T × r

With α = a / r (inextensible string):

J × (a / r) = T × r

T = J × a / r²

4. Acceleration and tension:

Substituting T in the solid's equation:

m × a = m × g × sin α − (J × a / r²)

a × (m + J/r²) = m × g × sin α

a = (m × g × sin α) / (m + J/r²)

Calculation of J/r²:

J/r² = 0.0025 / (0.10)² = 0.0025 / 0.01 = 0.25 kg

a = (2 × 9.8 × sin 30°) / (2 + 0.25)

a = (19.6 × 0.5) / 2.25 = 9.8 / 2.25

a ≈ 4.36 m/s²

Answer: a ≈ 4.36 m/s²

Tension in the string:

T = J × a / r² = 0.25 × 4.36 = 1.09 N

Answer: T ≈ 1.09 N

Exercise 3 - EN : Pulley with a hanging mass attached by a wound rope

A homogeneous pulley of mass M = 1.2 kg and radius R = 15 cm can rotate about its axis.

A massless rope is wound around the pulley's groove. A mass m = 500 g is suspended from the free end of the rope.

The pulley is subjected to a constant friction torque M_f = 0.1 N·m.

Given:
M = 1.2 kg ; R = 15 cm = 0.15 m
m = 500 g = 0.5 kg ; M_f = 0.1 N·m
g = 9.8 m/s²
Moment of inertia of the pulley: J = ½MR²

1. Calculate the moment of inertia J of the pulley.
2. Make a force balance on the hanging mass. Write Newton's 2nd law for the mass.
3. Make a torque balance on the pulley. Write Newton's 2nd law for the pulley.
4. Deduce the acceleration a of the mass and the tension T in the rope.
5. Calculate the speed of the mass after it has descended a height h = 2 m (starting from rest).

Solution

1. Moment of inertia of the pulley:

J = ½ × M × R² = ½ × 1.2 × (0.15)²

J = ½ × 1.2 × 0.0225 = 0.0135 kg·m²

Answer: J = 0.0135 kg·m²

2. Force balance on the hanging mass:

• Weight: P = m × g (downward)
• Tension: T (upward)

Newton's 2nd law for the mass:

m × a = m × g − T

3. Torque balance on the pulley:

The moment of tension T about the pulley's axis is:

M_T = T × R

The friction torque opposes the motion:

T × R − M_f = J × α

With α = a / R:

T × R − M_f = J × (a / R)

T = (J × a / R²) + (M_f / R)

4. Acceleration and tension:

Substituting T in the mass equation:

m × a = m × g − [(J × a / R²) + (M_f / R)]

a × (m + J/R²) = m × g − M_f/R

a = (m × g − M_f/R) / (m + J/R²)

Calculation of J/R²:

J/R² = 0.0135 / (0.15)² = 0.0135 / 0.0225 = 0.6 kg

Calculation of M_f/R:

M_f/R = 0.1 / 0.15 ≈ 0.667 N

a = (0.5 × 9.8 − 0.667) / (0.5 + 0.6)

a = (4.9 − 0.667) / 1.1 = 4.233 / 1.1

a ≈ 3.85 m/s²

Answer: a ≈ 3.85 m/s²

Tension in the rope:

T = m × (g − a) = 0.5 × (9.8 − 3.85)

T = 0.5 × 5.95 = 2.975 N

Answer: T ≈ 2.98 N

5. Speed after descending 2 m:

Using the relation v² = v₀² + 2×a×h with v₀ = 0:

v² = 2 × a × h = 2 × 3.85 × 2 = 15.4

v = √15.4 ≈ 3.92 m/s

Answer: v ≈ 3.92 m/s

Exercise 4 - EN : Pulley supporting two masses of different masses

A homogeneous pulley of mass M = 0.8 kg and radius R = 12 cm can rotate about its axis.

An inextensible and massless string passes over the pulley's groove. Two masses m₁ = 300 g and m₂ = 500 g are suspended at its ends.

Given:
M = 0.8 kg ; R = 12 cm = 0.12 m
m₁ = 300 g = 0.3 kg ; m₂ = 500 g = 0.5 kg
g = 9.8 m/s²
Moment of inertia of the pulley: J = ½MR²

1. Calculate the moment of inertia J of the pulley.
2. Make a force balance on each mass. Write Newton's 2nd laws for each mass.
3. Make a torque balance on the pulley. Write Newton's 2nd law for the pulley.
4. Deduce the acceleration a of the system and the tensions T₁ and T₂ in the strings.
5. Calculate the speed of the masses after t = 2 s (starting from rest).

Solution

1. Moment of inertia of the pulley:

J = ½ × M × R² = ½ × 0.8 × (0.12)²

J = ½ × 0.8 × 0.0144 = 0.00576 kg·m²

Answer: J = 5.76×10⁻³ kg·m²

2. Force balance on the masses:

Mass 1 (m₁ = 0.3 kg):

• Weight: P₁ = m₁ × g (downward)
• Tension: T₁ (upward)

m₁ × a = T₁ − m₁ × g

Mass 2 (m₂ = 0.5 kg):

• Weight: P₂ = m₂ × g (downward)
• Tension: T₂ (upward)

m₂ × a = m₂ × g − T₂

3. Torque balance on the pulley:

Tensions T₁ and T₂ create torques in opposite directions:

(T₂ − T₁) × R = J × α

With α = a / R:

(T₂ − T₁) × R = J × (a / R)

T₂ − T₁ = J × a / R²

4. Acceleration and tensions:

From the mass equations:

T₁ = m₁ × a + m₁ × g

T₂ = m₂ × g − m₂ × a

Substituting into the pulley equation:

(m₂ × g − m₂ × a) − (m₁ × a + m₁ × g) = J × a / R²

(m₂ − m₁) × g − (m₁ + m₂) × a = J × a / R²

a × (m₁ + m₂ + J/R²) = (m₂ − m₁) × g

a = (m₂ − m₁) × g / (m₁ + m₂ + J/R²)

Calculation of J/R²:

J/R² = 0.00576 / (0.12)² = 0.00576 / 0.0144 = 0.4 kg

a = (0.5 − 0.3) × 9.8 / (0.3 + 0.5 + 0.4)

a = 0.2 × 9.8 / 1.2 = 1.96 / 1.2

a ≈ 1.63 m/s²

Answer: a ≈ 1.63 m/s²

Tensions:

T₁ = m₁ × (a + g) = 0.3 × (1.63 + 9.8)

T₁ = 0.3 × 11.43 = 3.43 N

Answer: T₁ ≈ 3.43 N

T₂ = m₂ × (g − a) = 0.5 × (9.8 − 1.63)

T₂ = 0.5 × 8.17 = 4.09 N

Answer: T₂ ≈ 4.09 N

5. Speed after 2 s:

v = v₀ + a × t = 0 + 1.63 × 2

v = 3.26 m/s

Answer: v ≈ 3.26 m/s

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